УЧИТЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

Есть  одно трудное, но важное умение, которому нужно учить школьников при обучении математике — это умение решать задачи.

Ведь с задачами (житейскими, производственными, научными) человек встречается ежедневно. Любое дело, любая работа, в конечном счете, сводится к решению задач. Поэтому научить решать задачи чрезвычайно важно. Конечно, в математике решаются не любые задачи, а лишь математические и сводимые к ним. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи, и тот, кто умеет решать эти задачи, сумеет решить и другие.

Почему некоторые из учащихся не умеют самостоятельно решать задачи? Почему они не знают, как подступиться к решению новой незнакомой задачи?

Главная причина состоит в том, что эти ученики не понимают сущности задач, сущности их решения, не владеют общими методами поиска их решений.

Решение задач — это сложная работа. Материалом, над кото­рым производится эта работа,— сами задачи, методы их реше­ния — это инструменты для работы, а само решение — это процесс работы, процесс применения инструментов к материалу. Поэтому, чтобы облегчить решение задачи, надо, конечно, знать материал этой работы, т. е. сами задачи — пояснить учащимся как они устроены, из чего состоят, показать, что важно знать и владеть инструментами — методами решения задач, и научиться разумно применять эти инструменты.

С учащимися полезно начать работу с  краткого пояснения основных особенностей задач, решаемых в математике. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи, сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления.

Примерами математических задач являются задачи на решение уравнений, неравенств, разные геометрические задачи и т. д. Примерами практических задач являются задачи, в которых речь идет о движении поездов, о работе, о размерах реальных пред­метов и т. д.

Для сведения практических задач к математическим реальные объекты, рассматриваемые в этих задачах, заменяются соответ­ствующими математическими объектами (числами, отрезками, функциями и т. д.), и тем самым получается модель практи­ческой задачи — математическая задача.

 

Предложить учащимся:

 

Задача 1. Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в город на 4 ч раньше. Каково расстояние между городами?

Для решения этой задачи рассматриваемые в ней реальные объекты — расстояние между городами и скорости велосипедис­та — заменяем соответственно математическими объектами — искомое х и числа 10 и 12. Тогда легко составить уравнение:

 

Это уравнение и есть модель данной задачи — соответствую­щая математическая задача.

 

Как устроены задачи? Из каких частей они состоят?

Всякая задача содержит одно или несколько условий — высказываний, принимаемых нами за истинные, и одно или несколько требований.

 

Задача 2. В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды, одна длиной 16 см, другая 14 см. Расстояния этих хорд до центра равны 1 см и 4 см. Определить отрезки, на которые делятся хорды точкой их пересечения.

Построим указанные в задаче объекты: окружность центра О и две взаимно перпендикулярные хорды. Из центра О опустим на   хорды   перпендикуляры,   чтобы   найти их расстояние от центра. Тогда в этой задаче можно выделить следующие условия и требования:

Условия:

1) О — центр окружности;
2) АВ — хорда; 3) CD — хорда; 4) AB CD 5) АВ= 16; 6) CD = 14; 7) М — точка пересечения АВ и CD; 8) ОК АВ; 9) OK=1 10) OL OD; 11) OL = 4.

Требования: 1) найти AM; 2) найти ВМ\ 3) найти СМ; 4) найти DM.

Как видим, эта простая задача содержит 11 условий и 4 требо­вания. А как построены условия? Анализируя их, устанавливаем, что каждое условие содержит один или несколько объектов, о которых идет речь в условиях. Так, в условии 1 имеется один объект — точка О, точно так же в условиях 2 и 3 по одному объекту — отрезки АВ и CD, а вот уже в условии 4 два объекта: отрезки АВ и CD, а в условии 7 даже три объекта: отрезки АВ и CD и точка М. По одному объекту содержат условия  5, 6, 9 и 11 и по два объекта условия 8 и 10.

Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика. Так, в условии 1       объект — точка О характеризуется как центр окружности, в условиях 2 и 3 — объекты — отрезки АВ и CD характеризуются как хорды. Это все качественные характеристики. В условии 5 дается количественная характеристика объекта — отрезка АВ, а именно указано, что его длина равна 16. Точно так же в условиях 6, 9 и 11 указаны количественные характеристики рассматриваемых там объектов.

Если же в условии заданы два или более объекта, то указывает­ся соотношение между ними. Так, в условии 4 два объекта — отрезки АВ и CD и в нем указано соотношение между ними: они взаимно перпендикулярны. В условии 7 соотношения между тремя ее объектами состоят в том, что один из них — точка М есть точка пересечения двух других объектов — отрезков АВ и CD и т. д.

Что касается требований, то в математических задачах на­иболее часто встречаются такие виды требований: 1) найти искомое (величину, форму, отношение); 2) преобразовать задан­ный объект в другой вид; 3) построить некоторый объект с заданными характеристиками; 4) доказать справедливость некоторого утверждения.

В приведенной задаче 2 все четыре требования первого вида. Теперь рассмотрим, в чем состоит решение задачи.

Решение:

1. В четырехугольнике OKML углы L, К и М— прямые по построению, тогда и угол О также прямой, ибо сумма углов четырехугольника равна 360°.

Следовательно, по определению прямоугольника этот четырехугольник OKML — прямоугольник.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому MK = OL, a OL по условию 11 равен 4, значит, и МК = 4 и т. д.

Как видим, решение задачи состоит из одного или нескольких шагов. Каждый шаг решения состоит в том, что мы применяем какое-то общее положение математики (определение, теорему, формулу, правило и др.) к условиям задачи или к полученным ранее результатам решения и выводим из этого следствие. Следствием последнего шага решения задачи должно быть то, что требуется в задаче.

 

Задача 3. Разложить на множители многочлен х⁴ + 4                           (1).

В этой задаче имеется одно условие: х⁴ + 4 многочлен, и одно требование: преобразовать этот многочлен и представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Решение этой задачи состоит из следующих шагов.

Прибавим к данному многочлену (1) выражение 4х² - 4х², равное нулю, от этого значение (1) не изменится, получим:

(2)

Сгруппируем члены (2) следующим образом:

(3)

Это мы имели право сделать на основе переместительного и сочетательного законов сложения.

3.         Применим к выражению, стоящему в скобках в правой части (3), формулу квадрата суммы, получим:

(х⁴ + 4х² + 4) - 42 = (х² + 2)² - 4х².                                      (4)

4.         Представим 4x² как (2x)², тогда имеем:

(х² + 2)² - 4х² = (х² + 2)² - (2х)².                                                     (5)

5.         Применим к правой части (5) формулу разности квадратов:

(х2 + 2)² - (2х)² = (х² + 2 + 2х) (х² + 2 — 2х).                                                        (6)

Сопоставим все полученные равенства на основе аксиомы: если а — b и b = с, то а = с, получим окончательно:

(7)

Это решение можно изобразить следующей схемой:

№ шагов	Общие положения математики	Условия	Следствия
1.	а+0=а	а=х4+4 0=4х2-4х2	Равенство (2)
2.	Переместительный и сочетательный законы сложения	х4+4+4х2-4х2	Равенство (3)
3.	Формула: a2+2ab+b2=(a+b)2	x4+4x2+4	Равенство (4)
4.	Определение степени одночлена	4х2	Равенство (5)
5.	Формула: а2-b2=(a+b)(a-b)	(x2+2)2-(2x)2	Равенство (6)
6.	Аксиома: если a=b,и b=c, то а=с	Равенства (2), (3), (4), (5) и (6)	Равенство (7)

 

Т.о. следует обратить внимание учащихся на то, что при решении любой задачи  находят такую последовательность общих положений математики, приме­няя которые к условиям задачи или к их следствиям, в конечном итоге удовлетворяющую требованиям задачи.

Наибольшая трудность в решении задачи — это нахождение указанной последовательности общих положений математики. Если эта последовательность уже найдена, то все остальные в решении — применение этих общих положений к условиям задачи или к следствиям, не представляет большого труда.

Для многих задач в самой математике разработаны эти последовательности общих положений, которые образуют извест­ные общие правила (или, как говорят, алгоритмы) решения задач определенного вида.

Так, например, для производства всех действий над числом имеются готовые правила. Имеются особые правила и для решения многих алгебраических и геометрических задач. Однако большей частью эти правила сформулированы в математике в свернутом виде. Для того чтобы применить их для решения соответствующих задач, вы должны эти свернутые правила развернуть в пошаговую программу.

Например, формула (а+b)² = а²+2ab+b² есть правило для возведения двучлена в квадрат. Для применения этого правила к решению какой-либо задачи надо это правило развернуть в пошаговую программу. Покажем, как это делается на при­мере решения задачи:

Задача 4. Представить в виде многочлена выражение (2х — 3у)2.

 

1-й шаг.	Найти в заданном двучлене первый и второй члены	а=2х, b=-3
2-й шаг.	Возвысить первый член в квадрат	a2=4x2
3-й шаг.	Найти удвоенное произведение членов двучлена	2ab=2(2x)(-3y)=-12xy
4-й шаг.	Возвысить в квадрат второй член	b2=(-3y)2=9y2
5-й шаг.	Сложить результаты 2, 3 и 4-го шагов	4x2-12xy+9y2

 

Математические задачи, для которых в математике имеются готовые правила — программы их решения, называются, стандарт­ными. Решение стандартных задач особых трудностей не пред­ставляет. Надо лишь распознать вид данной задачи, вспомнить соответствующее этому виду задач правило решения, развернуть это правило в пошаговую программу и применить ее к условиям данной задачи.

Значительно труднее решать нестандартные задачи, для ко­торых в математике нет готовых правил. Решение нестандарт­ных задач состоит в том, чтобы свести их к решению одной или нескольких стандартных задач. Например, задача 3 является нестандартной, но мы свели ее к решению нескольких стандартных задач.

 

Задача 5. Построить трапецию, если даны большее основа­ние, средняя линия и углы при меньшем основании.

Решение. В этой задаче дано (см.рисунок слева)

Требование задачи: Построить трапецию по заданным элемен­там: известны величины большего основания, меньшего основания и углов при меньшем основании.

Эта задача нестандартная, ибо в математике нет правила построения трапеции по указанным элементам.

Ищем способ решения:

Пусть ABCD — искомая трапеция.

Сразу построить всю трапецию или какую-либо ее часть, как видно, нельзя. Причина состоит в том, что заданные элементы разобщены. Так, заданные углы находятся не при известных большем основании или средней линии, а при неизвестном меньшем основании. Однако, зная углы при меньшем основании, легко найти и углы при большем основании: они дополняют соответствующие углы при меньшем основании до 180°. Найдя их, мы тем самым установим направления боковых сторон трапе­ции в известных вершинах А и В большего основания. Теперь ос­талось найти положение средней линии. Для этого заметим, что NK\\AM отсекает от АВ отрезок AK = MN. Следовательно, можно отложить на АВ отрезок АК, равный MN, и через точку К провести прямую, параллельную AD, до пересечения с ВС в точке N. Тем самым определится середина боковой стороны ВС. Отложив от N отрезок NC, равный BN, мы найдем вершину С, а проведя через нее прямую, параллельную АВ, найдем и последнюю вершину D.

Таким образом, мы свели решение этой нестандартной задачи к решению следующих стандартных задач:

1. На произвольной прямой отложить отрезок АВ — a.

1. Построить угол, смежный с данным углом α; то же для угла β.

3. Построить угол, равный смежному с α, так, чтобы его вершиной была точка А, а 

одной  стороной — отрезок АВ, получаем угол ВАЕ; то же для угла, смежного с β,

при  вершине В и стороной ВА, получаем угол ABF.

1. Отложить от А на прямой АВ отрезок АК = m.
2. Провести через точку К прямую КL\\АЕ.

6. Найти точку пересечения прямой KL и BF, получаем очку N.

1. Отложить от точки N на прямой BF отрезок NC = BN.
2. Провести через точку С прямую CP \\ А В.

9.     Найти точку пересечения прямых CP и AE получаем точку D.

Фигура ABCD — искомая трапеция.

 

Все шаги этого решения представляют собой стандартные задачи.

 

Конечно, надо еще доказать, что построенная фигура действи­тельно есть искомая трапеция, установить условия, при которых задача имеет решения, но это сделать уже нетрудно.